計画の予測分散の評価｜分散の散布度グラフ（VDG）

最小二乗モデルによる予測値の分散
分散の散布度グラフ（VDG）
- SPVグラフとは
- UPVグラフとは
最後に

最小二乗モデルによる予測値の分散

実験計画を行い、最小二乗法により線形モデルを作成することを考えます。そのモデルを

$\boldsymbol{y}=\textbf{X}\boldsymbol{\beta}$

$\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix},　\boldsymbol{X}=\begin{bmatrix} 1\ x_{11}\ x_{12}\ \cdots x_{1k} \\ 1\ x_{21}\ x_{22} \ \cdots \ x_{1k} \\ \vdots\\ 1\ x_{n1}\ x_{n2}\ \cdots\ x_{1k} \end{bmatrix}, \boldsymbol{\beta}=\begin{bmatrix} \beta_{1} \\ \beta_{2} \\ \vdots \\ \beta_{n} \end{bmatrix},\boldsymbol{\varepsilon}=\begin{bmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \vdots \\ \varepsilon_{n} \end{bmatrix}$

とすると、ある点xにおけるモデルの予測値（平均値）の分散は

$V(\hat{y}(\textbf{x}))=\sigma^2\textbf{x'}(\textbf{x}\textbf{x})^{-1}\textbf{x}$

で計算されます。したがって、実験値は実際に実験を行わないと分かりませんが、実験値の「分散」は実験前に評価することが出来ます。σ²はデータの分散なので、事前に大体の値が分かっていればその値を使えばOKです。

要因xが2つだけ（x₁, x₂）であれば、V(y(x))の実験空間全体のプロットを3次元のグラフyやコンタ―図として表すことができます。一例として、2要因の中心複合計画のV(y(x))のグラフを図1に示します。

f:id:Sturgeon:20200515151319p:plain — 図1. 2要因中心複合計画のV(y(x))のグラフ

実験空間の中央部は分散が小さく、実験点の端の方になると分散が大きい、つまり予測が正確でなくなることが分かります。

このように、2要因であれば、分散を視覚的に評価することが出来ます。

では、要因が3つ以上ある場合はどのように分散を評価できるのでしょうか？

分散の散布度グラフ（VDG）

要因が3つ以上ある場合に便利なのが、分散の散布度グラフです。英語ではVariance Dispersion Graphというものなので、VDGと呼びます。VDGにはいくつかの種類があります。良く使われるのが以下の2つです。

SPV（Scaled Prediction Variance）グラフ
UPV （Unscaled）グラフ

SPVグラフとは

SPVグラフとは、縦軸に

$\displaystyle{ SPV= \frac{NV(\hat{y}(\textbf{x})) }{\sigma^2}=N\textbf{x'}(\textbf{x}\textbf{x})^{-1}\textbf{x} }$

で表されるSPVを、横軸に実験空間の中心から測った"距離"をプロットしたグラフです。

図2に、4要因α=2の中心複合計画について、中心点を1個と3個としたときのSPVグラフを示します。中心点が1個の場合は中心からの距離（Distance from origin）が小さい時、SPVが非常に大きいことが分かります。一方、中心点を3個にした場合は実験空間の全域にわたりSPVは小さくなっています。つまり、中心点を多くすることで、中心付近の分散を大幅に低減できるのです。

赤色の水平線はパラメータの数で、図2では2次モデルに対するSPVをプロットしてますから、切片・1次・2次項まで含めた数p=15となります。

実験空間全体で、SPVプロットがパラメータの数p=15より小さいかどうかが、良い計画かどうかの目安になります。ここでは、中心点を3個とすれば比較的良い計画であることがわかります。