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Plackett-burmann計画（プラケットバーマン計画）の実践｜ペーパーヘリコプター最適化

実験計画ー実践

概要

本記事から第3回に渡ってPlackett-burmann計画（プラケットバーマン計画）を利用したペーパーヘリコプターの落下時間の最適化実験を行います。ペーパーヘリコプターの翼の長さやボディーの幅などを含めた9つの要因を、どのように最適化すれば、落下時間が向上するか、という内容になります。

 

Plackett-burmann計画についてはこちらをご覧ください。

www.doe-get-started.com

 

要因が9つと多いので、本実験では、まずはじめに今回やることは、1)Plackett-burmann計画によって重要な要因をピックアップし、2)D最適計画によって計画を拡張する、という2段構えで、最小の実験回数で最適化を目指します。

本記事では1)のPlackett-burmann計画に焦点を当てました。

ペーパーヘリコプターの落下時間に影響を及ぼす因子

ペーパーヘリコプターは下の動画のようなのものです。紙とはさみがあれば簡単に作れます。高い所から手を離すと、翼が回転しながら落下していきます。

youtu.be

本実験では以下の9つのパラメータを要因として考慮し、ペーパーヘリコプターの落下時間を最適化することにしました。

  • B　：ボディー長
  • Bw ：ボディー幅
  • F    ：ウィングレット長（翼端の折れ曲がり）
  • G   ：翼の間隔
  • L　：おもり位置
  • R　：翼長
  • T　：テール長
  • Tw ：テール幅
  • W  ：おもり（ホチキス）の数

f:id:Sturgeon:20200302202505j:plain

図1. ペーパーヘリコプターの構造と要因

事前にいくつかのペーパーヘリコプターを作製して、妥当な範囲のパラメータを決定しました。それぞれの要因の水準値としては、表1の値の範囲で調査することにしました。

表1. 要因の水準値（Wはホチキスの個数。その他の要因の単位はすべてcm。）
Level B Bw F G L R T Tw W(個)
-1 2 3 0.5 0 1 6 8 1 2
0 3 3.5 1 0.5 2 7 9 1.25 3
1 4 4 1.5 1 3 8 10 1.5 4

Plackett-Burman計画

Plackett-Burman（PB）計画は12回で最大11の要因の主効果を推定できる計画です。

Rでは次のように作成します。

library(FrF2)
#12試行11要因のPlackett-Burmann計画
pb(nruns = 12)

#実行結果
    A  B  C  D  E  F  G  H  J  K  L
1   1 -1  1  1 -1  1  1  1 -1 -1 -1
2  -1  1  1  1 -1 -1 -1  1 -1  1  1
3  -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
4   1  1  1 -1 -1 -1  1 -1  1  1 -1
5  -1 -1  1 -1  1  1 -1  1  1  1 -1
6  -1  1  1 -1  1  1  1 -1 -1 -1  1
7  -1  1 -1  1  1 -1  1  1  1 -1 -1
8   1  1 -1  1  1  1 -1 -1 -1  1 -1
9   1 -1  1  1  1 -1 -1 -1  1 -1  1
10  1 -1 -1 -1  1 -1  1  1 -1  1  1
11  1  1 -1 -1 -1  1 -1  1  1 -1  1
12 -1 -1 -1  1 -1  1  1 -1  1  1  1
class=design, type= pb
表2. 12回のPB計画
B Bw F G L R T Tw W
1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1
-1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1
1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1
-1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1
1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1
-1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1
1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1
1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1
1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1
-1 1 1 1 -1 1 1 -1 1
-1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

過飽和計画

最後の過飽和計画とは（要因数≥試行回数）を満たす計画のことです。

過飽和計画はPB計画の半分を使って作成できます。9要因6回の過飽和計画を作成するには、10要因12回のPB計画のある1列を「指標列(indicator)」とし、指標列が1または-1になる列を選びます。具体的に説明すると、図2のように、右端の列を指標列"Indicator"とします。そして、"Indicator"が-1（または1）となるすべての列が過飽和計画になります。指標列は計画には含めません。

 

f:id:Sturgeon:20200304154454p:plain

図2. 過飽和計画。Indicator（指標）列を含めると10要因12回のPB計画であり、Indicatorが-1または+1となる計画の半分が過飽和計画になる。

表3は図2のやり方で作成した9要因6回の過飽和計画です（図2の赤色部分と同じ）。

表3. 9要因6回の過飽和計画
B Bw F G L R T Tw W
1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1
-1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1
1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1
-1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1
1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1
-1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1

 過飽和計画は、うまくいけば6回の試行で9要因を調査できるため、驚異的です。しかし、残念ながら主効果どうしが独立ではありません。表4は主効果の相関を表していて、すべての主効果は他の主効果と約0.3の相関があることがわかります。そのため、過飽和計画では有意な要因が抽出できない恐れがあります。

f:id:Sturgeon:20200302210428p:plain

表4. 過飽和計画（PB計画の1/2）における主効果どうしの相関

そこで、今回はひとまずは過飽和計画（表3）を試してみて、有意な効果が明らかになれば儲けもの、明らかでなければ12回のPB計画の半分（図3の下半分）を行う、という方針にしました。

 以上から、最終的なスクリーニング計画を図3のように計画しました。RunOrder 5の行はすべての要因の水準を0とした条件で、加えても加えなくても良いのですが、計画のバランスには影響がないため、実験に加えました。

繰返しになりますが、まず図3の過飽和計画を行い、有意な要因が明らかでなければさらに6回の実験を行う、という流れになります。

 

f:id:Sturgeon:20200304155502p:plain

図3. 最終的なスクリーニング計画。全体は12回のPB計画+1回のセンターラン（全要因の水準値0の点）。

 

まとめ

本実験では、ペーパーヘリコプターの落下時間の最適化にあたり、スクリーニング計画＋拡張計画の2段の最適化を行います。1段目のスクリーニング計画として一部実施要因計画、Plackett-Burman（PB）計画、過飽和計画を検討しました。その結果、はじめに6+1回の過飽和計画を実施し、有意な要因の抽出に曖昧さが残れば、続けて6回の実験（全体として12回のPB計画+1）を行う方針としました（図3）。

次回「その2」で、スクリーニングの実験結果を報告します！

sturgeon.hatenablog.com