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直交表は必要ない!?一部実施要因配置計画の作り方

一部実施要因計画の作り方

直交表や線点図は必要ありません。本記事では、一部実施要因配置計画の一番簡単な作成方法について説明します。

一部実施要因計画とは、要因配置計画(要因全ての組合わせを実験する計画)の一部だけを実施する計画です。試行回数は2k-pになります。ここで、kは要因の数、pはk要因の完全実施の要因配置計画の2p分の1であることを表しています。

一部実施要因計画は次の2つのステップで作成できます。

  1. 要因がk-p個の場合の要因配置計画を書き出す。これが基本の計画。
  2. 他に必要な要因を、基本の計画の列を掛け合わせて作成する。

これだけです。以下にk=4, p=1の場合を例として示します。

まず、要因がk-p(=4-1=3)個の場合の完全実施要因配置を書き出します(表1)。これは単純に3つの要因に対する2水準の全組合せです。この試行回数8回の計画が基本の計画となります。

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表1.3要因の完全実施要因配置計画(24-1計画の基本計画)

要因の数は4(k=4)なのでA、B、Cとは別に新たな要因Dを加えます。このとき、

 D=ABC

の関係を満たすようにDの列を作ります。すると24-1の一部実施要因計画は表2のようになります。

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表2.24-1の一部実施要因計画

たしかに、D=ABCの関係になっていますね。これで一部実施要因配置計画の作成は完了です。

ジェネレータを定め、交絡関係を知る

表2ではD=ABCの関係でD列を作成しましたが、このような関係を決定関係(Defining Relation)と呼びます。今回のような2水準実験において、決定関係の式は同じ文字を2度かけると必ず+になります。どいうことかというと、

 D=ABC\rightarrow D*D=I=ABCD

のように変形できます(Iはすべての列が+という意味)。このABCDを計画のジェネレータと呼びます。よって、一部実施要因計画は基本計画とジェネレータを決めることで作成できると言えます。

また、ジェネレータを決めることで、効果同士の交絡関係を知ることが出来ます。たとえば、D=ABCの両辺にCをかけて

 CD=ABC*C=AB

したがってCDとABは交絡することが分かります。

ところで、ジェネレータI=ABCDは適当に選んだわけではなくて、できるだけ多くの要因を掛け合わせたジェネレータを使っています。こうすることで、低次の効果が交絡しないようにするのです。

仮に、ジェネレータをI=ABDに選んだとすれば、決定関係はD=ABとなりますから1次の項Dと交互作用ABが交絡してしまいます。また両辺にBをかければB=ADなのでBにも交互作用ADとの交絡関係ができてしまいますね。

このように、ジェネレータの選び方で交絡関係が決まるため、注意が必要です。

※RなどのプログラムやMinitabのようなソフトウェアを使えば、低次の項同士の交絡がもっとも少なるような計画(Minimum aberration designという計画)を自動で生成してくれますから、ジェネレータについてはあまり気にしないで大丈夫です。

なぜ"一部実施"でよいのか?

ところで、要因配置計画では要因と水準の全組合せを実施しますが、その一部だけを実施する一部実施要因配置計画は、そもそもなぜ一部だけで良いのでしょうか?

この理解のためには、効果を表すための数式モデルについて説明する必要があります。実験で得る値をyとすると、モデルは

 y_i=\mu+a_i+b_i+c_i+d_i+\varepsilon_i

と表されます。ここで、iは試行回を表しており、今回はi=1,2,...8。εは平均0・分散1の正規分布に従うばらつき。µは全試行の平均を示しています。a, b, c, dはそれぞれ要因A, B, C, Dの効果で、今回は2水準ですから、aは水準がーのときはa、+のときはa+とします。効果は平均からのズレを表すため

 a_{-}+a_{+}=0

の関係が成り立ちます(b, c, dについても同様)。

さて、表3に実験計画(表2)とモデル式を一緒にしたものを示します。

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表3. 24-1の一部実施要因計画とモデル式

そして、要因Aの効果を求めたいときは、Aの水準が+の試行の合計と、Aの水準がーの試行の合計を計算し、両者の差を取ります。すわなち、

 (y_5+y_6+y_7+y_8)-(y_1+y_2+y_3+y_4)=\\ \{4\mu+4a_{+}+4(b_{-}+b_{+})+4(c_{-}+c_{+})+4(d_{-}+d_{+})\}\\ -\{4\mu+4a_{-}+4(b_{-}+b_{+})+4(c_{-}+c_{+})+4(d_{-}+d_{+})\} \\ =4(a_{+}-a_{-})

です。このように要因Aの効果だけが残り、その他の効果は相殺されることが分かります(εも相殺されますが、上式では省略しました)。相殺されるのは、すべての要因の水準(+とー)が同じ数ずつ、計画に現れている(バランスしている)からです。

以上より、要因と水準のすべての組合せを実施しない一部実施要因計画でも、要因効果の推定ができることがわかりました。

交絡行列(Aliase Matrix)

ジェネレータによって交絡関係が決まることを先ほど紹介しましたが、すべての交絡関係を一斉に確認する方法として、交絡行列の計算が挙げられます。今、前述の計画は忘れて、回帰分析によって推定したいモデル式を

 \boldsymbol{y}=\boldsymbol{X_m\beta_m}+\varepsilon

とするとき、真のデータが

 \boldsymbol{y}=\boldsymbol{X_m\beta_m}+\boldsymbol{X_t\beta_t}+\varepsilon

で表されるとしましょう。ここで、βは回帰係数、Xはデザインマトリックス(詳しくはこちら)です。

すると、βmの推定値は

 E(\boldsymbol{\beta_m})=\boldsymbol{\beta_m}+\boldsymbol{(X_m'X_m)}^{-1}\boldsymbol{X_mX_t\beta_2}=\boldsymbol{\beta_m}+\boldsymbol{A\beta_t}

で表されます。仮に1~4の要因についてベクトル表記すると、上式は

 E\begin{bmatrix}\beta_0 \\\beta_1 \\ \beta_2 \\\beta_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_0 \\ \beta_1+\beta_{23} \\  \beta_2+\beta_{13} \\ \beta_3+\beta_{12} \end{bmatrix}

 のようになります。これを見ると、β1の推定値は実際にはβ1+β23(要因2と3の交互作用)というようなことが分かります。

直交表や線点図は必要ないのか?

多くの教科書・サイトでは、本記事で説明した方法ではなく、直交配列表(直交表)と線点図というものを使って一部実施要因配置計画を立てる方法が紹介されています。

ちなみに、直交表とは要因が交絡しないような実験条件の選ぶための表。線点図は選んだ要因の交絡関係を視覚的にチェックできる図です。

しかし、前述のように、要因配置計画をもとに、ジェネレータを決めて新たな列を追加するだけで一部実施要因配置計画は作成できますから、直交表や線点図はいらないと思います。まあ、交絡しないように一部実施要因配置計画を立てるだけですから、やっていることは一緒です。

交絡関係のチェックに関しては、本記事のように相関のカラーマップで示した方が、線点図より分かりやすいと思います。

Rを使用した相関のカラーマップの作成はこちら(記事準備中)